المعادلات

هي تساوي بين تعبيرين، وتستخدم في كل فروع الرياضيات البحتة والتطبيقية وكذا في علوم الأحياء والعلوم الاجتماعية. وعادة ما تحتوي المعادلة على مجهول واحد أو أكثر وهذه المجاهيل يطلق عليها المتغيرات أو الكميات الغير معينة. ومن المعتاد أن يشار إلى هذه المجاهيل بحروف أو رموز أخرى مثل (س). وتوصف المعادلة بأنها ذات متغير واحد أو متغيرين أو ثلاثة أو أكثر حسب عدد المتغيرات التي تحتويها.
ويطلق على المعادلة أنها متحققة أو حقيقية بالنسبة لقيم معينة من المتغيرات عندما يتم استبدال المتغيرات بهذه القيم، فإذا كانت العبارة الموجودة على الجانب الأيسر من علامة التساوي مساوية لتلك العبارة الموجودة على الجانب الأيمن. فعلى سبيل المثال، تكون المعادلة (2 س + 5 = 13) معادلة متحققة عندما تكون (س = 4). ويطلق على حل المعادلة في متغير واحد "جذر المعادلة".
ويعد الخوارزمي من علماء القرنين الثاني والثالث الهجريين / التاسع الميلادي هو أول من يشار إليهم بالبنان في تعريف المعادلة. وإليه ينسب تأسيس علم الجبر. ولقد عرف الخوارزمي جميع عناصر المعادلة الجبرية كما نفهمها اليوم. والجبر عند الخوارزمي يعني نقل الحدود السالبة من مكانها في أحد طرفي المعادلة الجبرية إلى الطرف الآخر، أما المقابلة فتعني حذف الحدود المتشابهة في الطرفين. مثال ذلك المعادلة الجبرية:
س2 + 2س - 5 = س
تصبح بالجبر س2 + 2س = س + 5
وتصبح بالمقابلة س2 + س = 5
ولقد قدم الخوارزمي الأصناف الستة للمعادلات كما يلي:
أ س = ب س، أ س2 = جـ، ب س = جـ
أ س2 + ب س = جـ، أ س2 + جـ = ب س، أ س2 = ب س + جـ
ولقد برهن الخوارزمي على مختلف صيغ الحلول عن طريق تساوي المساحات. ومن أهم المسائل الستة الجبرية التي نسب إليها الخوارزمي كل ما يعمل من حساب جبر ومقابلة هي برهان المعادلة التي عرفت باسمه (معادلة الخوارزمي) وهي على الصورة التالية:
س2 + 10 س = 39
ولقد رسم الخوارزمي مربع (أ ب جـ د) طول ضلعه (س) فتكون مساحته (س2) ثم نصف معامل (س) فصار خمسة ورسم من ذلك الضلعين (د ي) = (ب ف) = (5)، فتكون مساحة المربع (أ ب جـ د) والمستطيلين (د ج هـ ي)، (ب ج ط ف) تبلغ (39). ويبقى إ لى تمام المربع الأكبر مساحة مربعة مقدارها (25). وبذلك تمكن الخوارزمي من حل المعادلة بطريقة إكمال المربع وإضافة (25) إلى طرفي المعادلة فتصبح كما يلي:
س2 + 10 س + 25 = 39 + 25 = 64
وينتج من ذلك أن:
(س + 5)2 = 64 أي أن س + 5 = 8 وتكون س = 3
ولقد جاء الرياضيون المسلمون من بعد الخوارزمي وعملوا على تطوير معادلاته وتعميمها، فقدم عمر الخيام حلا لمعادلة الدرجة الثانية على الصورة:
س2 + ب س = جـ
هو س2 = 4 / 1 ب2 + جـ - 2 / 1 ب
وتبعا لذلك يكون حل معادلة الخوارزمي كما يلي:
س2 = 4 / 1 (100) + 39 - 2 / 1 (10) = 25 + 39 - 5 = 64 - 5 = 3
ولقد جاء الكرجي من بعد الخيام وطور حل المعادلة حتى توصل إلى القانون العام المعروف حاليا لحل المعادلات من الدرجة الثانية.
كما برع عمر الخيام في تصنيف وحل المعادلات ذات الدرجة الثالثة والرابعة. فعالج المعادلات التكعيبية معالجة منهجية منظمة، حل فيها ثلاثة عشر نوعا من المعادلات بطريقة هندسية، واستخرج منها الجذور لكل درجة من هذه الدرجات.
وتوصل إلى نظرية ذات الحدين المرفوعة إلى أس أي عدد صحيح موجب. بينما أكمل الكاشي هذا الابتكار بأن طور خواص معاملاتها إلى أي أس حقيقي كسر أو عدد صحيح أو سالب.
وفي عام 1545م، نشر الرياضي الإيطالي جيرولامو كاردانو حلا جبريا للمعادلات التكعيبية من حيث معاملاتها وقد طور هذا الحل نيكول تارتاجليا. ثم توصل تلميذ كاردانو الذي يسمى لودوفيكو فيراري بالتعاون مع تارتاجليا إلى حل جبري لمعادلات الدرجة الرابعة.
وفي عام 1038هـ / 1629 م، تعرف الرياضي الفرنسي ألبيرت جيرارد على كل من الجذور السالبة والمعقدة للمعادلات ومن ثم كان قادرا على إكمال النظرة الجزئية التي ابتدأها فرانسوا فيتي والمتعلقة بالعلاقة بين جذور المعادلة الجبرية ومعاملاتها.
أما في عام 1044هـ / 1635 م، فقد نشر الفيلسوف والرياضي الفرنسي رينيه ديكارت كتابا حول نظرية المعادلات وقد احتوى هذا الكتاب على قاعدة علامات عدد الجذور الموجبة والسالبة لمعادلة. وبعد مضي عدة عقود، توصل الرياضي والفيزيائي الإنجليزي إسحاق نيوتن إلى طريقة تكرارية لإيجاد جذور المعادلات، وتعرف هذه الطريقة الآن باسم ط ريقة نيوتن- رافسون.
وفي نهاية القرن الثامن عشر، أثبت الرياضي الألماني كارل فريدريش جاوس أن كل معادلة حدودية لها جذر واحد على الأقل. ثم خطا الرياضي والفلكي الفرنسي خطوات فسيحة إلى إعادة ترتيب جذور المعادلة لدراسة حلولها. وقد أدت هذه الفكرة المثمرة من خلال العمل الذي قام به كل من الرياضي الإيطالي باولو روفيني والرياضي النرويجي نيلس أبيل والرياضي الفرنسي جالويس إلى التوصل إلى نظرية كاملة عن الحدوديات أوضحت أنه يمكن حل الحدودية من خلال صيغة جبرية عامة إذا كانت درجات الحدودية تقل عن خمسة. كما كان العمل الذي قام به جالويس قد أجاب على مسألتين مشهورتين ترجعان إلى عصر اليونانيين القدماء: فقد أوضح جالويس بأنه من خلال استخدام فرجار وحرف مستقيم، من المستحيل تقسيم بعض الزوايا إلى ثلاث زوايا متساوية ومن المستحيل رسم مكعب يبلغ حجمه ضعف حجم مكعب معلوم.

المتواليات

تعرف المتواليات -في علم الرياضيات- أنها تتابع منظم لأرقام أو لكميات أخرى وناتج مثل هذا التتابع. ويعبر عن المتتالية على النحو التالي:



حيث تعبر (أ) عن الأرقام أو الكميات سواء كانت مختلفة أم لا، فتكون (أ1) هي الحد الأول بينما (أ2) هي الحد الثاني وهلم جرا. وإذا كانت العبارة تحتوي على حد أخير، فإن المتوالية تكون نهائية، أما إذا كانت لا تحتوي على حد أخير، فإنها تكون لا نهائية.
وتحدد المتوالية أو تعرف إذا كانت هناك قاعدة تحدد الحد النوني لكل عدد موجب، وقد تكون هذه القاعدة صيغة للحد النوني. فعلى سبيل المثال، إن كل الأعداد الصحيحة الموجبة -في ترتيبها الطبيعي- تشكل متوالية لا نهائية تعرف بالصيغة.


.
كما أن الصيغة


.
تحدد المتوالية (1 4، 9، .16، ..) وتكون قاعدة البدء بـ 0، 1 ثم جعل كل حد بمثابة مجموع الحدين السابقين يحدد المتوالية 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، ...
وهناك أنواع هامة من المتواليات ألا وهي المتواليات الحسابية حيث يكون الفرق بين الحدود المتوالية ثابتا، والمتواليات الهندسية حيث تكون نسب المحدود المتوالية ثابتة. ويشير المصطلح "متسلسلة" إلى حاصل جمع



من حدود المتوالية. وتكون المتسلسلة إما نهائية كما في الحالة الأولى أو لا نهائية كما في الثانية، ويعتمد هذا على ما إذا كانت المتوالية المناظرة لها نهائية أو لا نهائية. هذا وتسمى المتوالية:



متتالية المجموع الجزئي للمتسلسلة:



كما أن المتسلسلة تتقارب أو تتباعد حسبما تتقارب أو تتباعد متتالية المجموع الجزئي.
أما المتسلسلة ذات الحدود الثابتة فهي تلك المتسلسلة التي تكون فيها الحدود أرقاما ، ومتوالية الدوال هي تلك المتوالية التي تكون فيها الحدود عبارة عن دوال لمتغير واحد أو أكثر. وعلى وجه الخصوص، فإن متتالية القوة تكون على النحو التالي:



حيث يكون كل من (أ) و (ج) ثوابت. وفي حالة متوالية القوة، تكمن المشكلة في كيفية وصف ماهية قيم (س) التي تتقارب منها. فإذا كانت متوالية تتقارب نحو (س)، فإن مجموعة السينات كلها التي تتقارب نحوها تتكون من نقطة أو مجال متصل.
توصل العلماء المسلمون بدراستهم الأعداد الطبيعية إلى قوانين عدة في مجموع الأعداد الطبيعية المرفوعة إلى القوة الأولى والثانية والثالثة والرابعة. فقد توصل الكرجي في القرن الخامس الهجري / الحادي عشر الميلادي إلى قوانين عامة تتعلق بإيجاد مجموع مربعات ومكعبات الأعداد التي عددها (ن). وهي كما وضعها في كتابه الفخري في الحساب كما يلي:



أما ابن الهيثم فقد توصل إلى مجموع مسلسلتي الأس الثالث والرابع للأعداد الطبيعية عندما كان يقوم بحساب حجم الجسم الدوراني الناتج عن دوران قطعة قائمة من قطع مكافئ حول محور عمودي على محور تماثلها، فتوصل إلى المتسلسلات التالية:



وفي القرن التاسع / الخامس عشر الميلادي للهجرة توصل الكاشي إلى قانون عام لمجموع الأعداد الطبيعية المرفوعة إلى القوة الرابعة. ووضعها في كتابه مفتاح الحساب كما يلي:



هذا وتعتبر كل من النظرية وتطبيقات المتتاليات اللانهائية أمرا مهما في كل فرع من فروع الرياضيات البحتة والتطبيقية.

اللوغاريتمات

طريقة رياضية لحل مسألة باستخدام أسلوب حسابي أبسط بشكل متكرر. ومن الأمثلة الواضحة على ذلك عملية القسمة المطولة في الحساب.
ولقد جاء علم اللوغاريتمات متأخرا عن معظم العلوم الرياضية الأولية باعتباره معتمدا عليها. وحيث أن الفكرة الأساسية لهذا العلم تعتمد على تحويل عمليتي الضرب والقسمة المعقدتين إلى عمليتي جمع وطرح، فلقد كان الوصول إليها متزامنا من عدة أوجه. ففي القرن الخامس الهجري / الحادي عشر الميلادي وضع ابن يونس قانونه المعروف في علم حساب المثلثات الذي يقضي بتحويل عملية الضرب إلى عملية جمع. وكان القانون على الصيغة التالية:
جتا أ جتا ب =2 / 1 [جتا (أ + ب ) + جتا ( أ- ب)]
وهو الذي يقضي بتحويل عملية الضرب إلى عملية جمع، فكان بذلك واضعا أول حجر في تطوير علم اللوغاريتمات.
وفي القرن العاشر الهجري / السادس عشر الميلادي توصل ابن حمزة المغربي إلى إيجاد العلاقة بين المتواليتين الحسابية والهندسية. وقد شكلت نتائجه هذه حجر الأساس الذي اعتمد عليه العالم نابير الأسكتلندي لتطوير علم اللوغاريتمات.
ويطلق مصطلح اللوغاريتمات الآن على أنواع عديدة من حل المشاكل باستخدام سلسلة من الخطوات الميكانيكية كما هو الحال في تنصيب برنامج كمبيوتر. وقد تعرض هذه السلسلة في مخطط مسار البرنامج بحيث يسهل اتباع الخطوات الواردة بها.
وكما هو الحال في اللوغاريتمات المستخدمة في الحساب، تتراوح اللوغاريتمات المستخدمة في الكمبيوتر بين البساطة والتعقيد الشديد، إلا أنه يجب تحديد المهمة التي ينبغي للوغاريتمات أن تؤديها على أي حال من الأحوال، بمعنى أنه قد يحتوي التعريف على مصطلحات رياضية أو منطقية أو تجميع للبيانات أو التعليمات المكتوبة، ولكن يجب أن تكون المهمة المطلوبة ذاتها مذكورة بطريقة أو بأخرى. وباستخدام مصطلحات الكمبيوتر المعتادة، فإن هذا يعني أنه يجب أن تكون اللوغاريتمات قابلة للبرمجة حتى ولو ثبت أن المهام نفسها لا يمكن الوصول فيها لحل.
وفي أجهزة الكمبيوتر المركب بها دائرة كمبيوتر دقيقة، تعتبر هذه الدائرة نوعا من أنواع اللوغاريتمات. وحيث أن أجهزة الكمبيوتر تزداد تعقيدا ، فإن عددا أكبر وأكبر من لوغاريتمات برامج الكمبيوتر تأخذ شكل ما يعرف باسم البرامج التي تتحكم في الأجهزة، بمعنى أنها تصبح جزءا من دائرة الكمبيوتر الأساسية أو أنها تكون ملحقات ترفق بالجهاز بسهولة أو أنها تكون بمفردها في أجهزة خاصة مثل ماكينات جدول الرواتب في المكاتب. والآن هناك أنواع كثيرة مختلفة من لوغاريتمات البرامج التطبيقية كما أن نظما متقدمة جدا مثل لوغاريتمات الذكاء الاصطناعي قد تصبح من الأمور الشائعة في المستقبل.