نظرية الأعداد هو فرع من الرياضيات
يهتم بخصائص الأعداد الصحيحة، سواء كانت طبيعية أو نسبية، وتتضمن عدة
مسائل مفتوحة سهلة الفهم، حتى بالنسبة لغير المختصين. بصفة عامة، المجال
الذي تدرسه هذه النظرية يهتم بفئة كبيرة من المسائل التي تأتي من دراسة
الأعداد الطبيعية. من الممكن تقسيم نظرية الأعداد إلى عدة مجالات حسب
الطريقة المستعملة ونوع المسألة. فهي فرع من فروع الرّياضيات تهتم بدراسة
خواص وعلاقات الأعداد الصحيحة وتوسيعاتها الجبرية والتحليلية.
عند الإطلاق، نظرية الأعداد تدرس قابلية القسمة والأوليّة والتحليل (إلى جداء عوامل أولية). كما تدرس خواص التجزئة وما قارب ذلك. ويوجد فروع أخرى نذكر منها نظرية الأعداد الجبرية التي تعتني باستعمال الطرق الجبرية لدراسة الأعداد الصماء والأعداد المتسامية ونظرية التحليل في التوسيعات الجبرية وغير هذا، ونظرية الأعداد التحليلية وهي تستغل طرق التحليل العقدي (الأعداد العقدية) حين دراسة بعض خواص الأعداد الأولية مثلا، انظر دالّة زيتا.


انظر مثلا قائمة بمجالات نظرية الأعداد.
المفهوم «حسابيات» مستعمل كمرجع لمبرهنة الأعداد وهو مفهوم قديم جدا.
[عدل] المبرهنة البدائية للأعداد


في هذا المجال، تدرس الأعداد دون اللجوء لتقنيات آتية من فروع أخرى للرياضيات. مسألة قابلية القسمة، خوارزمية إقليدس تمكن من حساب القاسم المشترك الأكبر ، تفكيك الأعداد إلى أعداد أولية, البحث عن الأعداد المثالية والتقريب تنتمي لهذا المجال.
النتائج هي مبرهنة فيرما الصغرى ومبرهنة أولير, ثم مبرهنة الباقي الصيني وقانون الانعكاس الرباعي. خاصيات الدوال الجذائية مثل دالة ميبيس ودالة أولير تمت دراستها ; وأيضا المتتاليات مثل عاملي وأعداد فيبوشى.
عدة مسائل المبرهنة البدائية للأعداد تبدو بسيطة تحتاج لتعمق في الرياضيات ولمقاربات جديدة. كما في المثلة الآتية :

• حدسية غولدباخ الخاصة بالأعداد الزوجية كجمع عددين أوليين,
  
• حدسية كاتالان الخاصة بأس أعداد طبيعية متتالية,
  
• حدسية التوأمين الأولية التي تقول أن مجموعة الأعداد الأولية التوأم غير منتهية, و* حدسية سيراكيز الخاصة بمتتالية بسيطة.
  

مبرهنة 'المعادلة الديوفانية تم البرهنة على أنها غير محددة (انظر مسائل هيلبرت).