الجبر الخطي هو فرع من الرياضيات مهتم بدراسة الأشعة، والفضاء الشعاعي (أَو الفضاءات الخطية)، والتحويلات الخطية، والنظم الخطية. تعتبر فراغات الأشعة موضوعا مركزيا في الرياضيات الحديثة؛ لذا يعتبر الجبر الخطي كثير الاستعمال في كلا من الجبر المجرد والتحليل الدالي. الجبر الخطي له أيضاً أهمية في الهندسة التحليلية. كما أن له تطبيقات شاملة في العلوم الطبيعة والعلوم الاجتماعية.
[ مقدمة


بدأ الجبر
الخطي بدراسة المتجهات في الفضاءات الديكارتية ثنائية وثلاثية الأبعاد.
ويمثل المتجه هنا قطعة مستقيمة موجهة تتميز بكلا من طولها (شدتها)
واتجاهها. يمكن أن تستعمل المتجهات لتمثيل كميات فيزيائية مثل القوى، كما
يمكن أن تطبق عليها عمليات الجمع والطرح والضرب (بأنواعه : الداخلي
والخارجي) وبهذا شكلت أول مثال عن الفضاء الشعاعي الحقيقي.
تمدد الجبر الخطي الحديث ليأخذ في الاعتبار فضاءات ذات أبعاد لا نهائية.
يمكن دراسة فضاء شعاعي به نون (n) من الأبعاد ويدعى الفضاء النوني. يمكن
التوسع في استخدام معظم النتائج التي نتجت عن دراسة الفضاءات ثنائية
وثلاثية الأبعاد بالنسبة للفضاءات الأكثر أبعادا.
من الصعب غالبا تخيل أشعة نونية البعد لكن مثل هذه الأشعة يمكن اعتبارها
عبارة عن مجموعات مرتبة نونية n-tuples مفيدة في تمثيل البيانات التي نريد
معالجتها في الكثير من العلوم. فالأشعة عبارة عن قائمة عناصر (مكونات)
مرتبة، من الممكن تلخيص ومعالجة البيانات بشكل فعال ضمن هذا الأسلوب
التجريدي من المعالجات. مثلا في علم الاقتصاد، يمكن للمرء أن يستعمل فضاءات شعاعية ثمانية الأبعاد أي مجموعات مرتبة ثمانية (8-tuples) ليمثل الناتج القومي
الأعلى لثمانية بلدان مختلفة. فيمثل الناتج القومي الأعظم لبلدان ثمانية
بشكل مجموعة مرتبة مثلا : (v1، v2، v3، v4، v5، v6، v7، v8).
وبالنسبة للفضاء الشعاعي أو الفضاء الخطي كمصطلح تجريدي فيمكننا صياغة مبرهنات حوله، حيث يمكن اعتباره قسما من الجبر التجريدي حيث ينسجم تماما مع ذلك الفرع من الدراسة. من أمثلة ذلك: زمرة المصفوفات وحلقة الخرائط الخطية للفضاء الشعاعي. ومن أهم مايُدرس خلاله هو
1-المتجهات في Rn وCn
2-جبر المصفوفات
3-منظومات المعادلات الخطيه
4-المصفوفات المربعة
5-المحددات
6-البنى الجبريه
7-الفضاءات والفضاءات الجزئية المتجهيه
8-الترابط الخطي، القاعدة، البُعد
9-التطبيقات
10-التطبيقات الخطيه
11-فضاءات التطبيقات الخطيه
12-المصفوفات والتطبيقات الخطيه
13-تغيير القاعده، والتشابه
14-فضاءات الجداء الداخلي، التعامد
15-الحدوديات فوق حقل
16-القيم الذاتيه والمتجهات الذاتيه، التقطير
17-الأشكال القانونيه
18-الداليات الخطيه، والفضاءالثنوي
19-الأشكال الخطانيه(ثنائية الخطيه)والتربيعيه والهرميتيه
20-المؤثرات الخطيه على فضاءات الجداء الداخلي
21-تطبيقات في الهندسة والحسبان