التحليل العددي أو الرياضيات العددية أحد فروع الرياضيات الذي يهتم بدراسة الخوارزميات لحل بعض مشاكل الرياضيات المتصلة (تمييزا لها عن الرياضيات المتقطعة) باستخدام عمليات رياضية بسيطة مثل الجمع والضرب. تنشأ بعض المشاكل التي يحلها التحليل العددي في دراسة التحليل الرياضي أو من دراسة المتغيرات الحقيقية أو المتغيرة، أو الجبر الخطي العددي ضمن حقول الأعداد الحقيقية والعقدية (المركبة)، كما تحل بعض مسائل المعادلات التفاضلية، وبعض مسائل الفيزياء والهندسة.

مقدمة عامة

العديد من المسائل في الرياضيات المتصلة (الاستمرارية) continuous mathematics لا تمتلك حل مغلق-الشكل closed-form solution (أي بمعنى آخر لا توجد طريقة أو قاعدة لإعطائنا الحل الدقيق أو الصحيح). من أمثلة ذلك إيجاد تكامل التابع الأسي (x2) (انظر دالة الخطأ error function)، وحل معادلة كثير الحدود العامة من الدرجة الخامسة فما فوق (مبرهنة أبيل-روفيني). في هذه الحالات يتبقى لدينا خيارين : أولا محاولة إيجاد حل تقريبي باستخدام تحليل مزالفي asymptotic analysis أو يمكن البحث عن حل عددي numerical solution. عملية إيجاد الحل العددي هي مجال بحث التحليل العددي.
الطرق المباشرة والتكرارية
يمكن لبعض المسائل في التحليل العددي أن تحل بشكل دقيق عن طريق خوارزمية ما، حيث تسمى هذا النوع من الخوارزميات "طرق مباشرة" direct methods : مثالها الاختصار الغاوسي Gaussian elimination لحل جمل المعادلات الخطية وطريقة التبسيط (طريقة سيمبلكس) simplex method في البرمجة الخطية linear programming.
لكن بالمقابل، هناك الكثير من المسائل لا تحل بخوارزميات مباشرة، في هذه الحالة قد يكون من الممكن حلها باستخدام أسلوب تأويبي iterative method. مثل هذه الطريقة تبدأ بتخمين وإيجاد التقريب الأنجح الذي يقترب بفعالية من الحل المطلوب. حتى عندما تتواجد أحيانا خوازميات مباشرة فقد تفضل الطرق التكرارية أحيانا لأنها أكثر فعالية (قد تتطلب زمنا أقل وقدرة حسابية أقل إضافة لتقريب جيد للحل) أو قد تكون أكثر استقرارا. التحليل العددي أو الرياضيات العددية أحد فروع الرياضيات الذي يهتم بدراسة الخوارزميات لحل بعض مشاكل الرياضيات المتصلة (تمييزا لها عن الرياضيات المتقطعة) باستخدام عمليات رياضية بسيطة مثل الجمع والضرب. تنشأ بعض المشاكل التي يحلها التحليل العددي في دراسة التحليل الرياضي أو من دراسة المتغيرات الحقيقية أو المتغيرة، أو الجبر الخطي العددي ضمن حقول الأعداد الحقيقية والعقدية (المركبة)، كما تحل بعض مسائل المعادلات التفاضلية، وبعض مسائل الفيزياء والهندسة. (أ) طريقة جاوس للحذف : تتلخص هذه الطريقة لحل نظام المعادلات الخطية في الخطوتين التاليتين: (І)تحويل النظام المعطى إلى״ نظام مثلثي״ مكافئ للنظام الأصلي , ومعنى نظام مثلثي هو أن مصفوفة المعاملات تصبح مصفوفة مثلثيه . (ІІ) حل النظام المثلثي الناتج بطريقة ״التعويض الخلفي״ .